% rubber: module pdftex

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[charter]{mathdesign}
%\usepackage{ae,aecompl}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{braket}

\newcommand{\powerset}{\mathcal{P}}

\newtheorem{thrm}{Teoreema}

\title{Algebra 1}
\author{Ilmari Vacklin}

\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}
    \item
        Olkoon $A_p$ niiden lukujen $1, 2, 3, \dotsc, 30$ joukko, jotka ovat jaollisia $p$:llä. Tällöin:
        \begin{align*}
            A_5 \cup A_7 &= \{ 5, 7, 10, 14, 15, 20, 21, 25, 28, 30 \} \\
            A_3 \cap A_5 &= \{ 15, 30 \} \\
            A_1 \setminus (A_2 \cup A_3 \cup A_5)
                &= \{ 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 \}
        \end{align*}

    \item
        Todista \emph{de Morganin kaavat} 
        \begin{align*}
            A \setminus (B \cup C) &= (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\text{ ja} \\
            A \setminus (B \cap C) &= (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\text{.}
        \end{align*}

    \item 
        Olkoon $\mathcal{A} = \set{ ]1 / r, r[ | r \in \mathbb{R}, r > 1 }$ ($\mathcal{A}$ on siis kokoelma reaalilukujen joukon
        osajoukkoja). Osoita, että  ja 

        \begin{enumerate}
            \item $\bigcup\mathcal{A} = ]0, \infty[$
                \begin{proof}
                    \begin{equation*}
                        \lim_{r \to \infty} 
                        \left\{
                        \begin{aligned}
                            1 / r &= 0      \\
                            r     &= \infty \qedhere
                        \end{aligned}
                        \right.
                    \end{equation*}
                \end{proof}

            \item
                $\bigcap\mathcal{A} = \{1\}$.
                \begin{proof}
                    Vedoten (a)-kohtaan välin koko kasvaa (aidosti) kun $r$ lähenee ääretöntä, joten pienin väli on kohdassa, jossa $r = 1$ (jossa $r$ on pienin).
                    Tällöin joukko on $]1/1, 1[ = \{1\}$.
                \end{proof}
        \end{enumerate}

    \item
        Luettele joukkojen $\powerset(\{1\}), \powerset(\powerset(\{1\}))$ ja $\powerset(\powerset(\powerset(\{1\})))$ alkiot.
        \begin{align*}
            \powerset(\{1\}) &= \{\emptyset, \{1\}\} \\
            \powerset(\powerset(\{1\})) &=
                \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \{1\} \}, \{ \emptyset, \{1\} \} \\
            \begin{split}
                \powerset(\powerset(\powerset(\{1\}))) &=
                    \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}, 
                    \{\emptyset ,  \{\emptyset \} ,  \{\emptyset ,  \{1  \}
                    \}  \}, \\
                    & \{\emptyset ,  \{ \emptyset  \} ,  \{\emptyset ,  \{1
                    & \}  \} ,  \{ \{1  \}  \} \} ,  \{\emptyset ,  \{\emptyset
                    & \} ,  \{ \{1  \}  \}  \} , \{\emptyset ,  \{\emptyset ,  \{1
                    & \}  \}  \} ,  \{\emptyset , \{\emptyset ,  \{1  \}  \} , 
                    & \{ \{1  \}  \}  \} ,  \{ \emptyset ,  \{ \{1  \}  \}  \} , 
                    & \{ \{\emptyset  \}  \} ,  \{ \{\emptyset  \} ,  \{\emptyset , 
                    & \{1  \}  \}  \} ,  \{ \{ \emptyset  \} ,  \{\emptyset ,  \{1
                    & \}  \} ,  \{ \{1  \}  \} \} ,  \{ \{\emptyset  \} ,  \{
                    & \{1  \}  \}  \} ,  \{ \{ \emptyset ,  \{1  \}  \}  \} ,  \{
                    & \{\emptyset ,  \{1  \}  \} , \{ \{1  \}  \}  \} ,  \{ \{
                    & \{1  \}  \}  \}  \} 
            \end{split}
        \end{align*}
    \item 
        Olkoot $A$ ja $B$ joukkoja. 
        \begin{enumerate}
            \item Osoita, että $\powerset(A \cap B) = \powerset(A) \cap \powerset(B)$. 
            \begin{proof}
                Olkoon $x \in A \cap B$. Tällöin siis $x \in A$ ja $x \in B$. 
            \end{proof}

            \item Millä ehdolla pätee kaava $\powerset(A \cup B) = \powerset(A) \cup \powerset(B)$?
            \begin{thrm}
                $\powerset(A \cup B) = \powerset(A) \cup \powerset(B) \Leftrightarrow A \subset B \text{ tai } B \subset A$
                eli $A \cup B = A \text{ tai } A \cup B = B$.
            \end{thrm}
            \begin{proof}
                \begin{describe}
                    \item[$\Rightarrow$] 
                        Todistetaan $\neg\left(A \subset B \lor B \subset A\right) \Rightarrow \neg\left(\powerset(A \cup B) = \powerset(A) \cup \powerset(B)\right)$.
                        Olkoot $x \ne y$ siten, että $x \in A$ ja $x \not\in B$ sekä $y \in B$ ja $y \not\in A$.
                        Tästä seuraa, että joukossa $\powerset(A \cup B)$ on joukon $A \cup B$ osajoukko $C$ s.e. $x \in C$ ja
                        $y \in C$, mutta joukossa $\powerset(A) \cup \powerset(B)$ ei ole joukkoa $C$. 
                    \item[$\Leftarrow$] 
                        Oletetaan siis $A \subset B$ tai $B \subset A$. Tällöin 
                        \begin{align*}
                                        &  A \cup B = A \text{ tai } A \cup B = B \\
                            \text{eli } & \powerset(A \cup B) = \powerset(A) \text{ tai } \powerset(A \cup B) = \powerset(B) \\
                                        & \text{ja }  \powerset(A) \subset \powerset(B) \text{ tai } \powerset(B) \subset \powerset(A) \\
                            \text{eli } & \powerset(A \cup B) = \powerset(A) \cup \powerset(B) \text{.}
                            \qedhere
                        \end{align*}
                \end{describe}
            \end{proof}

    \item 
        Olkoon $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kaavan $f(x) = x^2$ ($x \in \mathbb{R}$) määrittelemä kuvaus ja $A = \set{ x \in \mathbb{R} | -1 < x < 2 }$.
        Muodosta joukot
        \begin{align*}
            f^{-1}(f(A)) &= \left]-2, 2\right[ \\
            f(f^{-1}(A)) &= \left]0, 2\right[  \text{.}
        \end{align*}
\end{enumerate}

\end{document}